Bilangan
Biner
Sebagai contoh dari
bilangan desimal, untuk angka 157:
157(10) = (1 x
100) + (5 x 10) + (7 x 1)
Perhatikan! bilangan
desimal ini sering juga disebut basis 10. Hal ini dikarenakan perpangkatan 10
yang didapat dari 100, 101, 102, dst.
Mengenal Konsep
Bilangan Biner dan Desimal
Perbedaan mendasar dari
metoda biner dan desimal adalah berkenaan dengan basis. Jika desimal berbasis
10 (X10) berpangkatkan 10x, maka untuk
bilangan biner berbasiskan 2 (X2) menggunakan perpangkatan 2x. Sederhananya perhatikan contoh di bawah ini!
Untuk Desimal:
14(10) = (1 x 101) + (4 x
100)
= 10 + 4
= 14
Untuk Biner:
1110(2) = (1 x 23) + (1 x 22) + (1 x 21) + (0 x 20)
= 8 + 4 + 2 + 0
= 14
Bentuk umum dari bilangan
biner dan bilangan desimal adalah :
Biner
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
11111111
|
Desimal
|
128
|
64
|
32
|
16
|
8
|
4
|
2
|
1
|
255
|
Pangkat
|
27
|
26
|
25
|
24
|
23
|
22
|
21
|
20
|
X1-7
|
Sekarang kita balik lagi
ke contoh soal di atas! Darimana kita dapatkan angka desimal 14(10) menjadi angka biner 1110(2)?
Mari kita lihat lagi pada bentuk umumnya!
Biner
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
00001110
|
Desimal
|
0
|
0
|
0
|
0
|
8
|
4
|
2
|
0
|
14
|
Pangkat
|
27
|
26
|
25
|
24
|
23
|
22
|
21
|
20
|
X1-7
|
Mari kita telusuri perlahan-lahan!
·
Pertama sekali, kita jumlahkan angka pada desimal
sehingga menjadi 14. anda lihat angka-angka yang menghasilkan angka 14 adalah
8, 4, dan 2!
·
Untuk
angka-angka yang membentuk angka 14 (lihat angka yang diarsir), diberi tanda
biner “1”, selebihnya diberi tanda “0”.
·
Sehingga kalau
dibaca dari kanan, angka desimal 14 akan menjadi 00001110 (terkadang dibaca
1110) pada angka biner nya.
Mengubah Angka Biner ke
Desimal
Perhatikan contoh!
1. 11001101(2)
Biner
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
1
|
11001101
|
Desimal
|
128
|
64
|
0
|
0
|
8
|
4
|
0
|
1
|
205
|
Pangkat
|
27
|
26
|
25
|
24
|
23
|
22
|
21
|
20
|
X1-7
|
Note:
·
Angka desimal
205 didapat dari penjumlahan angka yang di arsir (128+64+8+4+1)
·
Setiap biner
yang bertanda “1” akan dihitung, sementara biner yang bertanda “0” tidak
dihitung, alias “0” juga.
2. 00111100(2)
Biner
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
00111100
|
0
|
0
|
0
|
32
|
16
|
8
|
4
|
0
|
0
|
60
|
Pangkat
|
27
|
26
|
25
|
24
|
23
|
22
|
21
|
20
|
X1-7
|
Mengubah Angka Desimal
ke Biner
Untuk mengubah angka
desimal menjadi angka biner digunakan metode pembagian dengan angka 2 sambil
memperhatikan sisanya.
Perhatikan contohnya!
1. 205(10)
205 : 2 = 102 sisa 1
102 : 2 = 51 sisa 0
51 : 2 = 25 sisa 1
25 : 2 = 12 sisa 1
12 : 2 = 6 sisa 0
6 : 2 = 3 sisa 0
3 : 2 = 1 sisa 1
1 à sebagai sisa akhir “1”
Note:
Untuk menuliskan notasi binernya, pembacaan dilakukan dari bawah yang
berarti 11001101(2)
2. 60(10)
60 : 2 = 30 sisa 0
30 : 2 = 15 sisa 0
15 : 2 = 7 sisa 1
7 : 2 = 3 sisa 1
3 : 2 = 1 sisa 1
1 à sebagai sisa akhir “1”
Note:
Dibaca dari bawah menjadi 111100(2) atau lazimnya dituliskan dengan
00111100(2). Ingat bentuk umumnnya mengacu untuk 8 digit! Kalau
111100 (ini 6 digit) menjadi 00111100 (ini sudah 8 digit).
Aritmatika Biner
Pada bagian ini akan membahas penjumlahan dan pengurangan biner. Perkalian
biner adalah pengulangan dari penjumlahan; dan juga akan membahas pengurangan
biner berdasarkan ide atau gagasan komplemen.
Penjumlahan Biner
Penjumlahan biner tidak begitu beda jauh dengan penjumlahan desimal.
Perhatikan contoh penjumlahan desimal antara 167 dan 235!
1 à 7 + 5 = 12, tulis “2” di bawah dan angkat “1” ke atas!
167
235
---- +
402
Seperti bilangan desimal, bilangan biner juga dijumlahkan dengan cara yang
sama. Pertama-tama yang harus dicermati adalah aturan pasangan digit biner
berikut:
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 1 = 0 à dan menyimpan 1
sebagai catatan bahwa jumlah dua yang terakhir adalah :
1 + 1 + 1 = 1 à dengan menyimpan 1
Dengan hanya
menggunakan penjumlahan-penjumlahan di atas, kita dapat melakukan penjumlahan
biner seperti ditunjukkan di bawah ini:
1 1111 à “simpanan
1” ingat kembali aturan di atas!
01011011 à bilangan
biner untuk 91
01001110 à bilangan
biner untuk 78
------------ +
10101001 à Jumlah
dari 91 + 78 = 169
Silahkan pelajari aturan-aturan pasangan digit biner yang telah disebutkan
di atas!
Contoh
penjumlahan biner yang terdiri dari 5 bilangan!
11101 bilangan
1)
10110 bilangan 2)
1100 bilangan 3)
11011 bilangan
4)
1001 bilangan 5)
-------- +
untuk
menjumlahkannya, kita hitung berdasarkan aturan yang berlaku, dan untuk lebih
mudahnya perhitungan dilakukan bertahap!
11101 bilangan 1)
10110 bilangan 2)
------- +
110011
1100 bilangan 3)
------- +
111111
11011 bilangan 4)
------- +
011010
1001 bilangan 5)
------- +
1100011 à Jumlah Akhir .
sekarang coba tentukan berapakah bilangan 1,2,3,4 dan 5! Apakah memang
perhitungan di atas sudah benar?
Pengurangan Biner
Pengurangan bilangan desimal 73426 – 9185 akan menghasilkan:
73426 à lihat! Angka 7 dan angka 4
dikurangi dengan 1
9185 à digit desimal pengurang.
--------- -
64241 à Hasil pengurangan akhir .
Bentuk Umum pengurangan :
0 – 0 = 0
1 – 0 = 0
1 – 1 = 0
0 – 1 = 1 à dengan meminjam ‘1’
dari digit disebelah kirinya!
Untuk pengurangan biner dapat dilakukan dengan cara yang sama. Coba
perhatikan bentuk pengurangan berikut:
1111011 à desimal
123
101001 à desimal 41
--------- -
1010010 à desimal
82
Pada contoh di atas tidak terjadi “konsep peminjaman”. Perhatikan contoh
berikut!
0 à kolom ke-3 sudah
menjadi ‘0’, sudah dipinjam!
111101 à desimal 61
10010 à desimal 18
------------ -
101011 à Hasil pengurangan akhir 43 .
Pada soal yang kedua ini kita pinjam ‘1’ dari kolom 3, karena ada selisih
0-1 pada kolom ke-2. Lihat Bentuk Umum!
7999 à hasil pinjaman
800046
397261
--------- -
402705
Sebagai contoh
pengurangan bilangan biner 110001 – 1010 akan diperoleh hasil sebagai berikut:
1100101
1010
---------- -
100111
Komplemen
Salah satu metoda yang dipergunakan dalam pengurangan pada komputer yang
ditransformasikan menjadi penjumlahan dengan menggunakan minusradiks-komplemen
satu atau komplemen radiks. Pertama-tama kita bahas komplemen di
dalam sistem desimal, dimana komplemen-komplemen tersebut secara berurutan
disebut dengan komplemen sembilan dan komplemen sepuluh (komplemen
di dalam system biner disebut dengan komplemen satu dan komplemen dua).
Sekarang yang paling penting adalah menanamkan prinsip ini:
“Komplemen sembilan dari bilangan desimal
diperoleh dengan mengurangkan masing-masing digit desimal tersebut ke bilangan
9, sedangkan komplemen sepuluh adalah komplemen sembilan ditambah 1”
Lihat contoh nyatanya!
Bilangan Desimal 123 651 914
Komplemen Sembilan 876 348 085
Komplemen Sepuluh 877 349 086 à ditambah dengan 1!
Perhatikan hubungan diantara bilangan dan komplemennya adalah simetris.
Jadi, dengan memperhatikan contoh di atas, komplemen 9 dari 123 adalah 876
dengan simple menjadikan jumlahnya = 9 ( 1+8=9, 2+7=9 , 3+6=9 )!
Sementara komplemen 10 didapat dengan menambahkan 1 pada komplemen 9,
berarti 876+1=877!
Pengurangan desimal dapat dilaksanakan dengan penjumlahan komplemen
sembilan plus satu, atau penjumlahan dari komplemen sepuluh!
893 893
893
321 678
(komp. 9) 679 (komp. 10)
---- - ----
+ ---- +
572 1571 1572
1
---- +
572 à angka 1 dihilangkan!
Analogi yang bisa diambil
dari perhitungan komplemen di atas adalah, komplemen satu dari bilangan biner
diperoleh dengan jalan mengurangkan masing-masing digit biner tersebut ke
bilangan 1, atau dengan bahasa sederhananya mengubah masing-masing 0 menjadi 1
atau sebaliknya mengubah masing-masing 1 menjadi 0. Sedangkan komplemen dua
adalah satu plus satu. Perhatikan Contoh .!
Bilangan Biner 110011 101010 011100
Komplemen Satu 001100 010101 100011
Komplemen Dua 001101 010110 100100
Pengurangan biner 110001 –
1010 akan kita telaah pada contoh di bawah ini!
110001 110001
110001
001010 110101
110110
--------- - ---------
+ --------- +
100111 100111 1100111
dihilangkan!
Alasan teoritis mengapa
cara komplemen ini dilakukan, dapat dijelaskan dengan memperhatikan sebuah speedometer
mobil/motor dengan empat digit sedang membaca nol!
Sistem
Oktal dan Heksa Desimal
Bilangan oktal adalah bilangan dasar 8, sedangkan bilangan
heksadesimal atau sering disingkat menjadi heks. ini adalah bilangan berbasis
16. Karena oktal dan heks ini merupakan pangkat dari dua, maka mereka memiliki
hubungan yang sangat erat. oktal dan heksadesimal berkaitan dengan prinsip
biner!
1. Ubahlah bilangan
oktal 63058 menjadi bilangan biner !
6 3 0 5 à oktal
110 011 000 101 à biner
Note:
·
Masing-masing digit oktal diganti dengan ekivalens 3 bit
(biner)
·
Untuk lebih jelasnya lihat tabel Digit Oktal di bawah!
2. Ubahlah bilangan heks 5D9316 menjadi bilangan biner !
heks à biner
5 à 0101
D à 1101
9 à 1001
3 à 0011
Note:
·
Jadi bilangan
biner untuk heks 5D9316 adalah 0101110110010011
·
Untuk lebih
jelasnya lihat tabel Digit Heksadesimal di bawah!
3. Ubahlah bilangan
biner 1010100001101 menjadi bilangan oktal !
001 010 100 001 101 à biner
3 2 4 1
5 à oktal
Note:
·
Kelompokkan
bilangan biner yang bersangkutan menjadi 3-bit mulai dari kanan!
4. Ubahlah bilangan biner 101101011011001011 menjadi bilangan
heks !
0010 1101 0110 1100 1011 à biner
2 D 6
C B à heks
Tabel Digit Oktal
Digit Oktal
|
Ekivalens 3-Bit
|
0
|
000
|
1
|
001
|
2
|
010
|
3
|
011
|
4
|
100
|
5
|
101
|
6
|
110
|
7
|
111
|
Tabel Digit
Heksadesimal
Digit Desimal
|
Ekivalens 4-Bit
|
0
|
0000
|
1
|
0001
|
2
|
0010
|
3
|
0011
|
4
|
0100
|
5
|
0101
|
6
|
0110
|
7
|
0111
|
8
|
1000
|
9
|
1001
|
A (10)
|
1010
|
B (11)
|
1011
|
C (12)
|
1100
|
D (13)
|
1101
|
E (14)
|
1110
|
F (15)
|
1111
|
Tidak ada komentar:
Posting Komentar